Los valores propios y los vectores propios son conceptos fundamentales en álgebra lineal, y se utilizan en diversas aplicaciones, como en la mecánica, estadística y procesamiento de señales.

Valores Propios: Eigenvalues

Un valor propio de una matriz \(A\) es un escalar \(\(\lambda\)\) tal que existe un vector no nulo \(\mathbf{v}\) (vector propio) que satisface la ecuación: $$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$

En otras palabras, al multiplicar la matriz \(A\) por el vector \(\mathbf{v}\), el resultado es el mismo vector escalado por \(\lambda\).

Vectores Propios: Eigenvectors

Un vector propio correspondiente a un valor propio \(\lambda\) es un vector \(\mathbf{v}\) que cumple con la ecuación anterior.

Pasos para encontrarlos: 3 Pasos

1. Calcular los valores propios:

Resuelve la ecuación característica: $$\det(A - \lambda I) = 0$$

donde \(\mathbf{v}\) es la matriz identidad del mismo tamaño que \(A\). Los valores de \(\lambda\) que satisfacen esta ecuación son los valores propios.

2. Resolver para \(\lambda\) para encontrar los valores propios

3. Calcular los vectores propios:

Para cada valor propio \(\lambda\), resuelve el sistema de ecuaciones: $$(A - \lambda I) \mathbf{v} = 0$$

Esto te dará los vectores propios asociados a cada valor propio.

Aplicaciones:

1. Estas entidades matemáticas proporcionan valiosos conocimientos sobre el comportamiento de las transformaciones lineales, lo que nos permite comprender la estructura subyacente de los datos, simplificar conjuntos de datos complejos con un gran número de características y, por tanto, posibilitar su procesamiento para alcanzar el objetivo deseado
2. Estabilidad en sistemas dinámicos: Los valores propios pueden indicar la estabilidad de un sistema; si todos los valores propios tienen partes reales negativas, el sistema es estable.
3. Reducción de dimensionalidad: En técnicas como el Análisis de Componentes Principales (PCA), se utilizan los vectores propios de la matriz de covarianza para identificar las direcciones de máxima varianza en los datos.
4. Mecánica cuántica: Los valores propios de un operador representan posibles resultados de una medición, y los vectores propios corresponden a los estados del sistema.
5. Modos de vibración: En ingeniería, los valores y vectores propios se utilizan para analizar las frecuencias naturales de estructuras y sistemas mecánicos.

Ejemplo:

Considera la matriz \(A\): $$ A = \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

1. Calcular los valores propios:

Aplicamos la ecuación característica: $$\det(A - \lambda I) = 0$$

Calculamos el segmento \( A - \lambda I\): $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 2 & 3 \end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-\lambda & 4\\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$

Ahora se calcula el determinante: $$\det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 4\\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}= (5 - \lambda)(3 - \lambda) - (4)(2) $$

Ahora se calcula el determinante: $$\det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 4\\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}= (5 - \lambda)(3 - \lambda) - (4)(2) \\ $$ $$\lambda^2 - 8\lambda + 7 = 0 $$

Usando el método de completación de cuadrados $$(\lambda-7)(\lambda-1)= 0 $$ despejando $$\lambda_1 = 7, \quad \lambda_2 = 1$$

2. Calculamos los Vectores Propios

$$(\lambda-7)(\lambda-1)= 0 $$ despejando $$\lambda_1 = 7, \quad \lambda_2 = 1$$

Ahora encontramos los vectores propios asociados a cada valor propio.

Para: \(\lambda_1 = 7\)

Sustituimos \(\lambda_1 = 7\) en el sistema: $$(A - 7I) \mathbf{v} = 0$$

Calculamos el segmento \(A - 7I \) : $$A - 7I = \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 2 & 3 \end{pmatrix}- 7\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-7 & 4\\ 2 & 3-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 2 & -4 \end{pmatrix} $$

Formamos el sistema de ecuaciones: $$ \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

La primera ecuación es: $$ -2x + 4y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 4y \quad \Rightarrow \quad x = 2y $$

Selecciamos \(y=1\), y calculamos x $$ \quad x = 2(1) = 2 $$

Por lo tanto, el vector propio correspondiente a \(\lambda_1 = 7\) es: $$ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Del mismo modo calculamos \(\lambda_2 = 1\). Dando como resultados los siguientes vectores: $$ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\ $$

Ahora se comprueba que la siguiente igualdad es verdadera para el \(\mathbf{v}_1\) y \(\mathbf{v}_2\) $$A \mathbf{v_2} = \lambda \mathbf{v_2}$$ $$A\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$\lambda \mathbf{v_1} = 1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

En resumen:

Para: \(A = \begin{pmatrix} 5 & 4\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)
Los valores propios son: \(\lambda_1 = 7, \quad \lambda_2 = 1\)
Los vectores propios son: \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Código en Python: comentado

Para calcular los valores y vectores propios en python usamos la libreria numpy.linalg.eig y para que los valores se asemejen a los nuestros, debemos normalizar los vectores.

import numpy as np

# Definir la matriz A
A = np.array([[5, 4],
              [2, 3]])

# Calcular los valores y vectores propios
valores_propios, vectores_propios = np.linalg.eig(A)

# Normalizar los vectores propios para que nos arroje el mismo valore del ejemplo
vectores_propios[:, 0] = vectores_propios[:, 0] / vectores_propios[1, 0]
vectores_propios[:, 1] = vectores_propios[:, 1] / vectores_propios[1, 1]

# Mostrar los resultados
print("Valores propios:")
for i, valor in enumerate(valores_propios):
    print(f"λ_{i + 1} = {valor:.2f}")

# Mostrar los vectores propios normalizados,tomando los valores por columna
for i in range(len(vectores_propios)):
    print(f"Vector propio asociado a λ_{i + 1}: {vectores_propios[:,i]}")

# Comprobamos que los valores propios y los vectores propios son correctos mediante la igualdad: AV = λV
for i in range(len(valores_propios)):
    av = np.dot(A, vectores_propios[:, i])
    lv = valores_propios[i]* vectores_propios[:, i]
    print(f"AV = {av}")
    print(f"λV = {lv}")

# Valores propios:
# λ_1 = 7.00
# λ_2 = 1.00
# Vector propio asociado a λ_1: [2. 1.]
# Vector propio asociado a λ_2: [-1.  1.]
# AV = [14.  7.]
# λV = [14.  7.]
# AV = [-1.  1.]
# λV = [-1.  1.]